Soutenance de thèse de Boris COLOMBARI

Le but de ma thèse est d’étudier la relation de concordance sur les objets noués via leur extension welded, qui est un intermédiaire diagrammatique entre les objets classiques et les surfaces nouées en dimension 4. Plus précisément, on donne une classification complète sur les string links et entrelacs welded de la wq-concordance, une suite graduée de relations d’équivalences introduite sur les objets welded par J-B. Meilhan et A. Yasuhara par l’intermédiaire de l’arrow calculus. Cette approche est inspirée par des résultats similaires établis sur les objets classiques, où la relation considérée est la Cq-concordance, obtenue à partir du calcul de claspers développé par K. Habiro. Les relations de wq-concordance et de Cqconcordance peuvent être vues comme des versions nilpotentes de la concordance, obtenues en quotientant par des “commutateurs imbriqués de croisements” sur les diagrammes, et permettent de mesurer à quel points deux objets noués sont loin d’être concordants. On montre ici que la wq-concordance est complètement classifiée par le système périphérique q-nilpotent. On en déduit une caractérisation diagrammatique de l’égalité des invariants de Milnor de longeur donnée de deux objets noués, en utilisant le contrôle plus fin de ces invariants donné par la wq-concordance, comparé à la Cq-concordance dont la classification nécessite l’introduction d’invariants supplémentaires. On obtient également des informations sur l’application Tube qui relie les objets welded et les surfaces nouées de type ruban, en étudiant le lien étroit entre la wq-concordance et la RCq-concordance définie sur ces surfaces par le calcul de claspers de T. Watanabe.

The goal of my thesis is to study the concordance relation on knotted objects via their welded extension, which is a diagrammatical intermediary between classical objects and knotted surfaces in 4-dimensional space. Moer precisely, we give a complete classification of wq-concordance on welded string links and welded links, a graded sequence of equivalence relations introduced on welded objects by J-B. Meilhan and A. Yasuhara using arrow calculus. This approach is inspired by similar results establised on classical objects, with the associated relation being that of Cq-concordance, derived from the clasper calculus of K. Habiro. The wq-concordance and Cq-concordance relations can be seen as nilpotent versions of concordance, obtained by quotienting by “iterated commutators of crossings” on diagrams, which measure how far two knotted objects are from being concordant to each other. We prove that the wq-concordance relation is completely classified by the q-nilpotent peripheral system. From this we obtain a diagrammatical characterization of when two knotted objects have equal Milnor invariants of given length, derived by using the finer control on these invariants given by the wq-concordance relation, compared to the Cq-concordance relation whose classification requires additional invariants. Moreove, we obtain some information on the Tube map between welded objects and ribbon knotted surface by using the close proximity between the wq-concordance relation and the RCq-concordance relation defined on these surfaces via the clasper calculus of T. Watanabe.