Soutenance de thèse de HARBRETEAU Thomas
Titre de thèse
Schémas pour le calcul haute-performance des écoulements compressibles.
Numerical schemes for high-performance computing of compressible flows.
Résumé de la thèse
Cette thèse est dédiée au développement de schémas numériques pour les écoulements compressibles (visqueux ou non).
Les schémas proposés partagent une discrétisation en espace commune : une méthode volumes finis sur mailles décalées, où les approximations aux faces sont calculées par un algorithme de type MUSCL algébrique (A-MUSCL) qui préserve la positivité de quantités évoluées en temps par un opérateur de convection linéaire.
Ce travail est divisé en deux parties principales.
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La première partie consiste à améliorer la précision en espace d'un schéma correction de pression inconditionellement stable, utilisé dans le code open-source califs de l'ASNR pour la simulation des écoulements compressibles.
En explicitant certain flux, on peut remplacer les flux décentrés amont originels par des flux A-MUSCL d'ordre 2, ce qui réduit la diffusion numérique de la méthode.
Au prix de la stabilité inconditionnelle du schéma de base, on améliore donc l'ordre en espace tout en conservant les propriétés principales : preservation de la positivité pour la masse volumique et l'énergie interne, stabilité (conditionnelle) et capacité à simuler des écoulements quasi-incompressibles.
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La seconde partie est dédiée à des schémas efficaces, d'ordre 2 et qui préservent la positivité pour les écoulements compressibles.
Les ingrédients principaux sont une marche en temps de type IMEX, la discrétisation sur mailles décalées évoquée précédemment ainsi qu'un nouveau limiteur d'ordre 2, basé sur le limiteur A-MUSCL, qui préserve la positivité.
Pour les écoulements visqueux, la convection est traitée explicitement tandis que les autres termes sont traités implicitement.
Cela nécéssite un couplage coûteux des équations de quantité de mouvement de d'énergie, mais permet de s'affranchir des conditions CFL acoustique et parabolique.
La seule restriction sur le pas de temps est une CFL matérielle, qui peut-être choisie plus grande que dans les schémas IMEX habituels.
De plus, la partie implicite est calculée seulement une étape sur deux de la méthode IMEX, ce qui réduit le nombre de systèmes non-linéaires à résoudre, et donc le coût de calcul de la méthode.
Pour les écoulements non-visqueux, tous les termes sont explicites sauf le gradient de pression, qui est ségrégé en temps.
De ce fait, le choix du pas de temps est restreint par des conditions CFL matérielle et acoustique, qui peuvent tout de même être choisies plus grandes que dans les schémas standards.
Pour obtenir la consistance du schéma, un limiteur est appliqué aux flux de quantité de mouvement et des termes correctifs sont ajoutés à l'équation d'énergie, ce qui dégrade malheureusement l'ordre de convergence.
Une étude de consistance à la Lax-Wendroff confirme la nécéssité d'intégrer ces méchanismes au schéma.
Ce travail est, à notre connaissance, la première étude approfondie de l'implémentation de marches en temps de type Runge-Kutta dans un schéma volumes finis sur mailles décalées.
Thesis resume
This thesis is dedicated to the development of numerical schemes for compressible (viscous and inviscid) flows.
The proposed schemes share a common space discretization: a second-order staggered finite volume method, where face approximations are computed using an Algebraic MUSCL-like algorithm (A-MUSCL) designed to preserve the positivity of quantities evolved in time by a linear convection operator.
The work is divided into two main parts.
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The first part consists in improving the accuracy in space of an unconditionally stable pressure correction scheme for compressible flows, used in the open-source software califs of the ASNR.
By expliciting some of the fluxes, we are able to replace the original upwind fluxes by the second-order A-MUSCL fluxes, which reduces the numerical diffusion of the method.
At the cost of the unconditional stability of the base scheme, we therefore improve the space accuracy while retaining the key properties: preservation of the positivity for the density and internal energy, (conditional) stability and capability to compute quasi-incompressible flows.
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The second part is dedicated to efficient, second-order accurate, positivity-preserving schemes for compressible flows.
The main ingredients are an IMEX time-stepping, the staggered space discretization described before and a new second-order, positivity-preserving limiter, based off the A-MUSCL limiter.
For viscous flows, the convection part is discretized explicitly in time whereas the other terms (pressure terms, heat diffusion and viscous / dissipative terms) are discretized implicitly.
This requires a costly coupling of the momentum and energy equations, but also removes the restrictions on the time-step imposed by the acoustic and parabolic CFLs.
The only CFL condition remaining is the material one, which can be chosen larger compared to standard IMEX methods.
Moreover, the implicit part is evolved in time only every other stage of the IMEX method, which reduces the number of nonlinear systems that need to be solved, hence lowering the computational cost of the method.
For inviscid flows, all the terms are treated explicitly except the pressure gradient which is segregated in time.
Material and acoustic CFLs apply to the choice of the time-step, that can nevertheless be chosen larger compared to other explicit schemes.
To obtain a consistent scheme, a limiter is applied to the momentum fluxes and corrective terms are added to the energy equation, which unfortunately reduces the order of accuracy of the method to 1.
A Lax-Wendroff consistency analysis confirms the necessity to embedd these mechanisms inside the scheme.
This work in, to the best of our knowledge, the first in-depth study of the implementation of Runge-Kutta time-steppings in a finite volumes space discretization.