Soutenance de thèse de GAZULL Yann-Situ
Titre de thèse
Sur les Calculs des Trous Homologiques
lorsque topologie, géométrie et combinatoire se rencontrent
On the Computations of Homological Holes
where topology, geometry and combinatorics meet
Résumé de la thèse
L'homologie est une branche de la topologie algébrique qui permet de capturer intuitivement les informations liés aux trous d'un objet. Cette thèse est dédiée à l'étude des calculs d'homologie sous un angle à la fois combinatoire et géométrique. Nos travaux sont centrés sur les champs de vecteurs discrets homologiques (HDVF), une structure combinatoire qui calcule des informations homologique et englobe plusieurs approches, notamment la théorie de Morse discrète, l'homologie persistante standard et
les tri-partitions.
Nous étudions d'abord les propriétés combinatoires des HDVFs. En particulier, nous caractérisons les bases d'homologie et de cohomologie calculées par les HDVFs et les méthodes associées. Nous adoptons ensuite un point de vue globale, en affinant le lien entre filtrations, homologie persistante et HDVFs, et en démontrant que le graphe des HDVFs parfaits est connexe.
Nous explorons ensuite plus profondément l'interaction entre homologie et combinatoire, en développant une version constructive de la dualité d'Alexander. Pour étudier les constructions qui en résultent, nous introduisons les configurations d'homologie, qui classifient les HDVFs et offrent un point de vue de plus haut niveau sur les calculs d'homologie. En particulier, nous montrons que les configurations d'homologie
définissent un invariant topologique pour les objets de dimension au plus égale à 3.
Enfin, nous déplaçons l'attention sur la géométrie des trous homologiques. Nous introduisons l'épaisseur et la largeur d'un trou homologique, qui quantifient des aspects complémentaires de sa géométrie. Nous proposons des méthodes théoriques pour calculer ces mesures, implémentons des discrétisations pratiques et présentons des résultats sur des objets tridimensionnels.
Dans l'ensemble, cette thèse démontre que les HDVFs constituent un cadre pertinent pour l'étude de la combinatoire des calculs d'homologie. Plus généralement, elle explore les calculs d'homologie sous différents angles et introduit de nouvelles représentations des trous homologiques.
Thesis resume
Homology is a branch of algebraic topology that intuitively captures information about the holes of an object. This thesis is dedicated to the study of homology computations from both combinatorial and geometric perspectives. Our work is centered on homological discrete vector fields (HDVFs), a combinatorial structure that computes homological information and encompasses several approaches, including discrete Morse theory, standard persistent homology, and tri-partitions.
We first investigate the combinatorial properties of HDVFs. In particular, we characterize the homology and cohomology bases computed by HDVFs and related methods. We then adopt a global perspective, refining the connection between filtrations, persistent homology, and HDVFs, and proving that the graph of perfect HDVFs is connected.
We further explore the interaction between homology and combinatorics by developing a constructive version of Alexander duality. To study the resulting constructions, we introduce homology configurations, which classify HDVFs and provide a higher level point of view on homology computations. In particular, we show that homology configurations define a topological invariant for objects of dimension at most 3.
Finally, we shift our focus to the geometry of homological holes. We introduce the thickness and breadth of a homological hole, which quantify complementary aspects of its geometry. We propose theoretical methods for computing these measures, implement practical discretizations, and present results on three-dimensional objects.
Overall, this thesis demonstrates that HDVFs provide a relevant framework for studying the combinatorics of homology computations. More generally, it investigates homology computations from different global perspectives and introduces new representations of homological holes.