Soutenance de thèse de GASTALDI Axel
Titre de thèse
Homologie cyclique périodique des algèbres produits croisés lisses.
Une méthode de Dirac-dual Dirac en homologie cyclique périodique.
Periodic cyclic homology of smooth crossed product algebras.
A Dirac-dual Dirac method in periodic cyclic homology.
Résumé de la thèse
Cette thèse est dédiée à l'étude des algèbres de convolution lisses associées aux groupes de Lie, apparaissant naturellement en géométrie non-commutative et en théorie des représentations. Notre résultat établit un isomorphisme, après stabilisation, entre l'homologie cyclique périodique des algèbres produits croisés lisses associées à un groupe de Lie réel et à son sous groupe compact maximal, produisant un analogue homologique de l'induction de Dirac à coefficients pour les groupes de Lie.
Notre approche repose sur les travaux de Nistor qui établit cet isomorphisme localement, c'est-à-dire au-dessus de chaque classe de conjugaison du groupe, et sans stabilisation. Les outils principaux utilisés proviennent de la K-théorie bivariante de Kasparov et de sa description par Cuntz. Nous proposons un raffinement de la méthode de Dirac-dual Dirac et de la notion d'équivalence de Morita pour une adaptation à notre cadre.
Thesis resume
This thesis is devoted to the study of smooth convolution algebras associated to Lie groups, appearing naturally in non-commutative geometry and representation theory. Our result establishes a stable isomorphism between the periodic cyclic homology of the smooth crossed product algebras associated to a real Lie group and to its maximal compact subgroup. It may be viewed an homological analogue to the Dirac induction with coefficients for Lie groups.
Our approach is built on earlier work of Nistor who established this isomorphism locally, i.e. around each conjugacy class of the group and without stabilization. Essential tools come from Kasparov's bivariant K-theory and its interpretation by Cuntz. We set up a refinement of the Dirac-dual Dirac method and of Morita equivalence which fit into our framework.