Soutenance de thèse de Sarah TIMHADJELT

Cette thèse s'articule autour de deux projets principaux. Un premier travail porte sur le comportement spectral d'un opérateur de Markov obtenu en sommant une matrice aléatoire et une matrice déterministe. Nous nous intéressons à l'asymptotique en terme de dimension. Nous introduisons les opérateurs libres par amalgamation qui sont appropriés pour calculer le spectre de notre opérateur en grande dimension. Nous calculons ensuite une approximation du rayon spectral de l'opérateur limite correspondant et donnons enfin une borne supérieure pour le rayon spectral de l'opérateur en dimension finie. Le deuxième travail est consacré à l'étude de l'expansion d'un canal quantique non-hermitien obtenu en sommant des unitaires Haar distribuées indépendantes. En suivant la méthode de Hastings pour borner supérieurement le trou spectral en termes de valeurs propres dans le cas Hermitien, et en l'adaptant pour donner une estimation exacte du trou spectral en termes de valeurs singulières, nous montrons que nous avons construit un expanseur quantique aléatoire à la fois en termes de valeurs singulières et valeurs propres dans le cas non-Hermitien. Nous donnons également une borne inférieure pour la deuxième plus grande valeur singulière et valeur propre, analogue à la borne d'Alon-Boppana pour les graphes d-réguliers. La borne supérieure est obtenue en utilisant les équations de Schwinger-Dyson.

This thesis is structured around two main projects. The first concerns the spectral behaviour of a Markov operator obtained by summing a random matrix and a deterministic matrix. We are interested in asymptotics in terms of dimension. We introduce free with amalgamation operators, which are suitable for calculating the spectrum of our operator in high dimension. We then approximate the spectral radius of the corresponding limit operator and finally give an upper bound for the spectral radius of the finite-dimensional operator. The second work is devoted to the study of the expansion of a non-Hermitian quantum channel obtained by summing independent and Haar distributed unitary matrices. By following Hastings' method for upper bounding the spectral gap in terms of eigenvalues in the Hermitian case, and adapting it to give an exact estimate of the spectral gap in terms of singular values, we show that we have constructed a random quantum expander in terms of both singular values and eigenvalues in the non-Hermitian case. We also give a lower bound for the second largest singular value and eigenvalue, analogous to the Alon-Boppana bound for d-regular graphs. The upper bound is obtained using Schwinger-Dyson equations.