Soutenance de thèse de SOMMELLA Maxime
Titre de thèse
Correspondance de LANGLANDS pour le groupe p-adique F4 et représentations d'un groupe p-adique
LANGLANDS correspondence for the p-adic group F4 and representations of a p-adic group
Résumé de la thèse
La Correspondance de Langlands met en lien des objets de deux univers
mathématiques différents. D'une part, le groupe de Galois d'un corps de nombres ou sa version $p$-adique et d'autre part des groupes linéaires algébriques définis sur ce corps. La
correspondance prédit une bijection entre des représentations de ces groupes, vérifiant
certaines contraintes.
Dans le cas $p$-adique, on a des résultats assez ou très précis pour le groupe linéaire
général ainsi que pour les groupes classiques et les formes dites intérieures de ces groupes.
Par contre, en ce qui concerne les groupes dits exceptionnels (classifiés à partir de systèmes de racines de
type $E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$ et $G_2$) tout ou presque tout reste encore ouvert (à l'exception du cas de $G_2$).
Le but de la thèse est d'étudier en profondeur le cas d'un groupe linéaire algébrique réductif connexe déployé $textbf{G}$
de système de racines de type $F_4$ (en suivant principalement les méthodes explicitées dans cite{AubXu1}, cite{AubXu2}, cite{Hei2}, cite{Hei3}, cite{Hei4}, et cite{Sol1}).
Dans ce manuscrit, nous obtenons des critères de réductibilité pour les induites paraboliques maximales de représentations irréductibles lisses cuspidales génériques unitaires de sous-groupes de Levi standards non-maximaux de $textbf{G}$. Nous déterminons les systèmes de racines associés aux zéros de la fonction $mu$ de Harish-Chandra ainsi que les R-groupes associés, et ceci pour tous les sous-groupes de Levi standards non-maximaux de $textbf{G}$. Nous en déduisons ensuite les réseaux et les paramètres des algèbres de Hecke affines associées aux paires cuspidales de $textbf{G}$ ainsi que les points résiduels de la fonction $mu$ pour tous ces sous-groupes de Levi standards non-maximaux de $textbf{G}$.
Pour finir, nous rendons explicite le centralisateur de l'image du groupe de Weil par les paramètres de Langlands de représentations irréductibles lisses cuspidales unitaires, ainsi que son groupe des composantes, pour les sous-groupes de Levi standards de rang semi-simple $1$ de $textbf{G}$.
Thesis resume
The Langlands Correspondence builds bridges between objects from two different
mathematical worlds: on the one hand, the Galois group of a number field or its
$p$-adic version, and on the other hand, algebraic linear groups defined over this field. The
correspondence predicts a bijection between representations of these groups that satisfy
certain constraints.
In the $p$-adic case, we have fairly or very precise results for the general linear
group as well as for the classical groups and their so-called inner forms.
In contrast, for the so-called exceptional groups (classified according to their root systems of
types $E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$, and $G_2$), everything or almost everything remains open (except for the exceptional group of type $G_2$).
The goal of this thesis is to study in depth the case of a split connected reductive linear algebraic group $textbf{G}$
with root system of type $F_4$ (following primarily the methods described in cite{AubXu1}, cite{AubXu2}, cite{Hei2}, cite{Hei3}, cite{Hei4}, and cite{Sol1}).
In this manuscript, we obtain reducibility criteria for the maximal parabolic inductions of irreducible generic unitary cuspidal smooth representations of non-maximal standard Levi subgroups of $textbf{G}$. We compute the root systems associated with the zeros of the Harish-Chandra $mu$ function as well as the associated R-groups, for all non-maximal standard Levi subgroups of $textbf{G}$. We then deduce the lattices and parameters of the affine Hecke algebras associated with the cuspidal pairs of $textbf{G}$, as well as the residue points of the $mu$ function for these non-maximal standard Levi subgroups of $textbf{}$.
Finally, we explicitly determine the centralizer of the image of the Weil group under the Langlands parameters of irreducible unitary cuspidal smooth representations, as well as its component group, for standard Levi subgroups of $textbf{G}$ with semi-simple rank $1$.