Soutenance de thèse de COUTENS Juliette
Titre de thèse
Un théorème de Paley-Wiener à trace pour GLn(F) GLn(E), avec E/F une extension quadratique de corps locaux non-archimédiens
A trace Paley-Wiener theorem for GLn(F) GLn(E), with E/F a quadratic extension of non-archimedean local fields
Résumé de la thèse
Cette thèse s'inscrit dans le cadre du programme de Langlands relatif, qui vise à étendre le programme de Langlands classique aux variétés sphériques. Dans le cadre classique, un célèbre théorème de Paley–Wiener pour les traces a été établi par Bernstein, Deligne et Kazhdan en 1986. Il fournit une caractérisation des fonctions
π → Tr(π(f )),
où G est un groupe réductif p-adique, π parcourt les classes d'isomorphisme des représentations lisses irréductibles de G, et f ∈ C ∞
c (G).
Nous étendons ce résultat au cadre relatif. Plus précisément, lorsque E /F est une extension quadratique de corps p-adiques, le théorème obtenu est un théorème de Paley–Wiener scalaire pour les distributions relatives de Bessel sur GLn (F )GLn (E ). Ces distributions sont des caractères relatifs de la forme
π → Iπ(f ), f ∈ C ∞c (GLn (E )),
où π parcourt les représentations tempérées irréductibles GLn (F )-distinguées. Elles sont construites à partir d'une forme linéaire GLn (F )- invariante et d'une forme linéaire de Whittaker. En utilisant la correspondance de Langlands locale ainsi que le changement de base depuis un groupe unitaire, on montre que ces caractères relatifs
peuvent être décrits comme des éléments du centre de Bernstein « générique » du groupe unitaire U (n).
Thesis resume
This thesis is related to the relative Langlands' program, which aims to extend the classical Langlands' program to spherical varieties. In the classical case, a well-known trace Paley-Wiener theorem was given by Bernstein, Deligne and Kazhdan in 1986. It gives a characterization of the functions
π → Tr(π(f )),
with G a reductive p-adic group, π ranges over isomorphism classes of smooth irreducible representations of G and f ∈ C ∞c (G).
We extend this to a relative case. That is when E /F is a quadratic extension of p-adic fields, the theorem is a scalar Paley-Wiener theorem for relative Bessel distributions on GLn (F )GLn (E ). These distributions are relative character ofthe form
π → Iπ(f ), f ∈ C ∞c (GLn (E )),
as π ranges over GLn (F )-distinguished irreducible tempered representations, and are constructed from a GLn (F )-invariant functional and a Whittaker functional. Using the local Langlands correspondence, and the base-change from a unitary group, we show that the relative characters can be described as elements of the "generic" Bernstein center of the unitary group U (n).